Question

10．我們約定，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過(guò)象限內(nèi)某點(diǎn)且平行于坐標(biāo)軸或平行于兩坐標(biāo)軸夾角平分線的直線，叫該點(diǎn)的“參照線”．例如，點(diǎn)M（1，3）的參照線有：x=1，y=3，y=x+2，y=-x+4（如圖1）．

如圖2，正方形OABC在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)A，C分別在x軸和y軸上，點(diǎn)D（m，n）在正方形內(nèi)部．
（1）直接寫出點(diǎn)D的所有參照線：x=m，y=n，y=x+n-m，y=-x+n+m；
（2）若A（6，0），點(diǎn)D在線段OA的垂直平分線上，且點(diǎn)D有一條參照線是y=-x+7，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（3，4）；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P是AB邊上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合），連接OP，將△OAP沿著OP折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為A′，當(dāng)點(diǎn)A′在點(diǎn)D的平行于坐標(biāo)軸的參照線上時(shí)，寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)（6，2$\sqrt{3}$）或（6，9-3$\sqrt{5}$）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)參照線的定義可知，點(diǎn)D（m，n）的所有參照線為：x=m，y=n，y=x+n-m，y=-x+n+m；
（2）利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；
（3）分兩種情形①如圖1中，當(dāng)點(diǎn)A′在參照線HM上時(shí)，設(shè)PA=PA′=x．②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)A′在參照線DH上時(shí)，設(shè)PA=PA′=y．分別構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；

解答 解：（1）根據(jù)參照線的定義可知，點(diǎn)D（m，n）的所有參照線為：x=m，y=n，y=x+n-m，y=-x+n+m，
故答案為x=m，y=n，y=x+n-m，y=-x+n+m

（2）∵A（6，0），點(diǎn)D在線段OA的垂直平分線上，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為3，
又∵點(diǎn)D有一條參照線是y=-x+7，
∴x=3時(shí)，y=-3+7=4，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（3，4），
故答案為（3，4）．
（3）①如圖1中，當(dāng)點(diǎn)A′在參照線HM上時(shí)，設(shè)PA=PA′=x．

易知OA=OA′=6，OH=4，
∴HA′=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴A′M=6-2$\sqrt{5}$，
在Rt△A′PM中，∵A′P²=PM²+A′M²，
∴x²=（4-x）²+（6-2$\sqrt{5}$）²，
∴x=9-3$\sqrt{5}$，
∴P（6，9-3$\sqrt{5}$），
②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)A′在參照線DH上時(shí)，設(shè)PA=PA′=y．

易知A′H=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
在Rt△A′PM中，∵A′P²=PM²+A′M²，
∴y²=3²+（3$\sqrt{3}$-y）²，
∴y=2$\sqrt{3}$，
∴P（6，$2\sqrt{3}$），
故答案為（6，2$\sqrt{3}$）或（6，9-3$\sqrt{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)綜合題、勾股定理、翻折變換、點(diǎn)的“參照線”的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，注意不能漏解．