Question

18．小慧把邊長為1的正方形紙片0ABC放在直線l₂上，0A邊與直線l₂重合，然后將正方形紙片繞著頂點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，此時點O運動到了點O₁處（即點B處），點C運動到了點C₁處，點B運動到了點B₂處，小慧又將正方形紙片 AO₁C₁B₁繞頂點B₁按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，…．正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過81次旋轉(zhuǎn)，頂點0經(jīng)過的路程是$\frac{{41+20\sqrt{2}}}{2}π$．

Answer 1

分析 第一次以A為圓心OA為半徑的弧長，旋轉(zhuǎn)了90°，第二次以B₁為圓心，正方形的對角線為半徑，旋轉(zhuǎn)角為90°，第三次以B₁為圓心，OA長為半徑，旋轉(zhuǎn)90°，第四次以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，此時O點沒有運動，四次后O點又回到初始狀態(tài)的相對位置，四次一循環(huán)，再利用弧長的計算公式分別計算即可．

解答 解：正方形紙片OABC經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，頂點O在此過程中經(jīng)過的路程為：
∵$\frac{90π×1}{180}$×2+$\frac{90π×\sqrt{2}}{180}$=（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）π，根據(jù)第四次正方形旋轉(zhuǎn)時O點不動，也就是此時也是正方形紙片OABC經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)的路程；
∴$\frac{41+20\sqrt{2}}{2}$=20（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）π+$\frac{π}{2}$，
∴正方形紙片OABC經(jīng)過了：20×4+1=81次旋轉(zhuǎn)．
故答案為81．

點評 此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)以及扇形面積公式和弧長計算公式，確定出前四次O點經(jīng)過的路線是解題的關(guān)鍵，注意規(guī)律的尋找．