Question

如圖，平面直角坐標系中，矩形OABC的兩頂點A，C坐標分別為（8，0）（0，4），將矩形沿對角線OB按圖中方式折疊，此時A點落在A′處，且OA′與BC邊交于點D．
（1）求過點O，D，A的拋物線的解析式；
（2）在（1）中的拋物線對稱軸上有一動點P，當點P運動到什么位置時，△PAA′的周長最小？（請用P點的坐標表示P點的位置，寫出過程）
（3）在（1）中的拋物線對稱軸上是否存在一點Q，使得以A、D、Q三點為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）根據(jù)折疊的性質知：∠DA′B=∠OAB=90°，A′B=AB=4；
∵OC=A′B，∠DA′B=∠DCO=90°，∠ODC=∠BDA′，
∴△OCD≌△BA′D，
∴CD=A′D；
設CD=A′D=x，則BD=8-x；
Rt△A′BD中，由勾股定理得：x²+4²=（8-x）²，
解得x=3；
故D（3，4）；
設拋物線的解析式為：y=ax（x-8）²，
則有：3a（3-8）=4，
a=-；
∴y=-x（x-8）²=-x²+x．

（2）過A′作x軸的垂線，交BC于M，交OA于N；
在Rt△A′BD中，A′M⊥BD，則：
A′M=A′D•A′B÷BD=，
DM=A′D²÷BD=；
故CM=，A′N=，A′（，）；
△A′AP中，AA′的長為定值，若周長最小，那么PA+PA′最��；
由于O、A關于拋物線的對稱軸對稱，則點P必為直線OA′與拋物線對稱軸的交點；
易求得直線OA′：y=x，
拋物線對稱軸：x=4；
當x=4時，y=，即P（4，）．

（3）假設存在符合條件的Q點，則有：
①D為△ADQ的直角頂點；
易求得直線AD的斜率：k==-，
所以設直線DQ：y=x+h，
則有：×3+h=4，
解得h=，
即y=x+，
當x=4時，y=；
故Q（4，）；
②A為△ADQ的直角頂點，同①可求得Q（4，-5）；
③Q為△ADQ的直角頂點，設Q（4，m），
則有：=-1，
即m²-4m-4=0；
解得m=2±2；
即Q（4，2+2）或（4，2-2）；
綜上可知：存在符合條件的Q點，且坐標為：
Q（4，-5）或（4，）或（4，2+2）或（4，2-2）．
分析：（1）欲求拋物線的解析式，就必須先求出D點的坐標，也就要求出CD的長；根據(jù)折疊的性質知：AB=A′B=OC=4，易證得△OCD≌△BA′D，那么CD=A′D，BD=BC-CD=8-CD，在Rt△A′BD中，利用勾股定理即可求出CD的長，從而得到點D的坐標，進而可由待定系數(shù)法求得拋物線的解析式．
（2）△PAA′中，AA′的長是定值，若此三角形的周長最小，那么PA+PA′的長最小，由于O、A關于拋物線的對稱軸對稱，那么P點必為直線OA′與拋物線對稱軸的交點；過A′作x軸的垂線，交BC于M，交OA于N，在Rt△A′BD中，利用射影定理即可求得MD的長，利用直角三角形面積的不同表示方法即可求出A′N的長，由此求得點A′的坐標，進而得到直線OA′的解析式，聯(lián)立拋物線對稱軸方程，即可得到點P的坐標．
（3）此題應分三種情況考慮：
①點D為直角頂點，那么QD⊥AD，易得直線AD的解析式，由于QD⊥AD，那么直線QD和直線AD的斜率的乘積為-1，結合D點坐標即可求得直線DQ的解析式，聯(lián)立拋物線的對稱軸方程，即可求得點Q的坐標；
②點A為直角頂點，方法同①；
③點Q為直角頂點，設出點Q的坐標，由于DQ⊥AQ，那么兩條直線的斜率乘積為-1，可據(jù)此列出關于Q點縱坐標的方程，從而求得點Q的坐標．
點評：此題考查了矩形的性質、圖形的翻折變換、二次函數(shù)解析式的確定、平面展開-最短路徑問題、直角三角形的判定、互相垂直的兩直線的斜率關系等重要知識，（3）題中，一定要根據(jù)不同直角頂點來分類討論，以免漏解．