Question

20．如圖，在△ABC中，DE∥BC分別交AB、AC于D、E兩點，過點E作EF∥AB交BC于點F．若BF=a，PC=b，DE與BC間的距離為h，求證：S²=4S₁S₂．

Answer 1

分析 由于DE∥BC，EF∥AB，可知四邊形DBFE是?，同時，利用平行線分線段成比例定理的推論，可知△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，從而易得△ADE∽△EFC，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，可得S₁：S₂=a²：b²，由于S₁=$\frac{1}{2}$bh，那么可求S₂，從而易求4S₁S₂，又S=ah，容易證出結(jié)論．

解答 證明：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四邊形DBFE為平行四邊形，∠AED=∠C，∠A=∠CEF，
∴△ADE∽△EFC，
∴$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$=（$\frac{DE}{FC}$）²=$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$，
∵S₁=$\frac{1}{2}$bh，
∴S₂=$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$×S₁=$\frac{{a}^{2}h}{2b}$，
∴4S₁S₂=4×$\frac{1}{2}$bh×$\frac{{a}^{2}h}{2b}$=（ah）²，
而S=ah，
∴S²=4S₁S₂．

點評 本題考查了平行四邊形、三角形的面積公式，平行四邊形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．