Question

如圖，△ABC中，∠BAC=90°，延長BA至D，使AD=

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AB，點E、F分別是邊BC、AC的中點．
（1）判斷四邊形DBEF的形狀并證明；
（2）過點A作AG⊥BC交DF于G，求證：AG=DG．

Answer 1

考點：等腰梯形的判定,三角形中位線定理,等腰梯形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用梯形的判定首先得出四邊形DBEF為梯形，進而得出四邊形HFEB是平行四邊形，得出BE=FD進而得出答案；
（2）利用四邊形DBEF為等腰梯形，得出∠B=∠D，利用AG∥BG，∠B=∠DAG，得出答案．

解答：（1）解：四邊形DBEF為等腰梯形，
理由如下：
  如圖，過點F作FH∥BC，交AB于點H，
∵FH∥BC，點F是AC的中點，點E是BC的中點，
∴AH=BH=

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AB，EF∥AB，
顯然EF＜AB＜AD，∴EF≠AD，
∴四邊形DBEF為梯形，
∵AD=

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AB，
∴AD=AH，
∵CA⊥AB，
∴CA是DH的中垂線，
∴DF=FH，
∵FH∥BC，EF∥AB，
∴四邊形HFEB是平行四邊形，
∴FH=BE，
∴BE=FD，
故四邊形DBEF為等腰梯形；

（2）證明：∵四邊形DBEF為等腰梯形，
∴∠B=∠D，
∵AG∥BG，∠B=∠DAG，
∴∠D=∠DAG，
∴AG=DG．

點評：此題主要考查了等腰梯形的判定以及其性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，得出BE=FD是解題關鍵．