Question

如圖，點(diǎn)O是已知線段AB上一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑的⊙O交線段AB于點(diǎn)C，以線段OB為直徑的圓與⊙O的一個(gè)交點(diǎn)為D，過點(diǎn)A作AB的垂線交BD的延長線于點(diǎn)M。
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）若BC，BD的長度是關(guān)于x的方程x²-6x+8=0的兩個(gè)根，求⊙O的半徑；
（3）在上述條件下，求線段MD的長。

Answer 1

解：（1）連接OD， ∵OB是直徑， ∴∠ODB=90°， ∴，且OD為⊙O的半徑， ∴BD是圓的切線； （2）解方程，得， ∵BD，BC分別是上述方程的兩個(gè)根，由圖形可知BC<BD， 又∵BD，BCA分別是⊙O的切線和割線， ∴由切割線定理，得， 即， ∴AB=8 ∴半徑； （3）∵， ∴∠A=90° 又∵∠ODB=90°， ∴∠ODB=∠A 在與中， ，且∠B是公共角， ∴， ∴，即， ∴， 又∵，且AC為⊙O的直徑， ∴MA與⊙O相切于點(diǎn)， 又∵M(jìn)D與⊙O相切， ∴。