Question

如圖，已知矩形ABCD，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)B沿線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與B、C重合），連結(jié)AE、DE，以AE為邊作矩形AG，使邊FG過(guò)點(diǎn)D．
（1）求證：△ABE∽△AGD；
（2）求證：矩形AEFG與矩形ABCD的面積相等．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）由四邊形ABCD和四邊形AEFG是矩形，可得∠B=∠G=∠BAD=∠EAG=90°，繼而可得∠BAE=∠DAG，則可證得：△ABE∽△AGD；
（2）法一：由△ABE∽△AGD，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得AB•AD=AG•AE，即可得矩形AEFG與矩形ABCD的面積相等．
法二：連接ED，可得S_矩形AEFG=2S_△ADE，S_矩形ABCD=2S_△ADE，即可證得結(jié)論．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是矩形，
∴∠B=∠G=∠BAD=∠EAG=90°，
又∵∠BAE+∠EAD=∠EAD+∠DAG=90°，
∴∠BAE=∠DAG，
∴△ABE∽△AGD；

（2）法一：證明：∵△ABE∽△AGD，
∴

AB

AG

=

AE

AD

，
∴AB•AD=AG•AE，
∴矩形AEFG與矩形ABCD的面積相等．

法二：連接ED，
∵S_矩形AEFG=2S_△ADE，S_矩形ABCD=2S_△ADE，
∴S_矩形AEFG=S_矩形ABCD．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．