Question

已知不等式ax²-2x-a+1＜0，當(dāng)-2≤a≤2時(shí)恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：計(jì)算題

分析：令y=ax²-2x-a+1=（x²-1）a+（-2x+1），由于當(dāng)x=1時(shí)，y＜0；當(dāng)x=-1時(shí)，y＞0，所以x=1滿足條件；若x≠±1時(shí)，y是關(guān)于a的一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得到-2（x²-1）+（-2x+1）＜0且2（x²-1）+（-2x+1）＜0，整理得2x²+2x-3＞0且2x²-2x-1＜0，然后根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題解兩個(gè)不等式，再寫出它們的公共部分，于是可確定滿足條件的x的取值范圍．

解答：解：設(shè)y=ax²-2x-a+1=（x²-1）a+（-2x+1），
當(dāng)x=1時(shí)，y＜0；當(dāng)x=-1時(shí)，y＞0，
若x≠±1時(shí)，y是關(guān)于a的一次函數(shù)，
因?yàn)?2≤a≤2時(shí)，y＜0，
所以-2（x²-1）+（-2x+1）＜0且2（x²-1）+（-2x+1）＜0，
對于-2（x²-1）+（-2x+1）＜0整理得2x²+2x-3＞0，解方程2x²+2x-3=0得x₁=

-1+ 7

2

，x₂=

-1- 7

2

，所以2x²+2x-3＞0的解集為x＞

-1+ 7

2

或x＜

-1- 7

2

；
對于2（x²-1）+（-2x+1）＜0整理得2x²-2x-1＜0，解方程2x²-2x-1=0得x₁=

1+ 3

2

，x₂=

1- 3

2

，所以2x²-2x-1＜0的解集為

1- 3

2

＜x＜

1+ 3

2

，
所以

-1+ 7

2

＜x＜

1+ 3

2

或x=-1．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．對于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．