Question

如圖，已知拋物線與x軸交于A（1，0），B（-3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），拋物線的頂點為P，連接AC．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）在拋物線上找一點D，使得DC與AC垂直，且直線DC與x軸交于點Q，求點D的坐標(biāo)；
（3）拋物線對稱軸上是否存在一點M，使得S_△MAP=2S_△ACP？若存在，求出M點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)此拋物線的解析式為：y=a（x-x₁）（x-x₂），
∵拋物線與x軸交于A（1，0）、B（-3，0）兩點，
∴y=a（x-1）（x+3），
又∵拋物線與y軸交于點C（0，3），
∴a（0-1）（0+3）=3，
∴a=-1
∴y=-（x-1）（x+3），
即y=-x²-2x+3，
用其他解法參照給分；

（2）∵點A（1，0），點C（0，3），
∴OA=1，OC=3，
∵DC⊥AC，
∴∠DCO+∠OCA=90°，
∵OC⊥x軸，
∴∠COA=∠COQ，∠OAC+∠OCA=90°，
∴∠DCO=∠OAC，
∴△QOC∽△COA，
∴，即，
∴OQ=9，
又∵點Q在x軸的負(fù)半軸上，
∴Q（-9，0），
設(shè)直線QC的解析式為：y=mx+n，則，
解之得：，
∴直線QC的解析式為：，
∵點D是拋物線與直線QC的交點，
∴，
解之得：（不合題意，應(yīng)舍去），
∴點D（，
用其他解法參照給分；

（3）如圖，點M為直線x=-1上一點，連接AM，PC，PA，
設(shè)點M（-1，y），直線x=-1與x軸交于點E，
∴E（-1，0），
∵A（1，0），
∴AE=2，
∵拋物線y=-x²-2x+3的頂點為P，對稱軸為x=-1，
∴P（-1，4），
∴PE=4，
則PM=|4-y|，
∵S_{四邊形AEPC}=S_{四邊形OEPC}+S_△AOC，
=，
=，
=5，
又∵S_{四邊形AEPC}=S_△AEP+S_△ACP，
S_△AEP=，
∴S_△ACP=5-4=1，
∵S_△MAP=2S_△ACP，
∴，
∴|4-y|=2，
∴y₁=2，y₂=6，
故拋物線的對稱軸上存在點M使S_△MAP=2S_△ACP，
點M（-1，2）或（-1，6）．
分析：（1）利用交點式將拋物線與x軸交于A（1，0）、B（-3，0）兩點，代入y=a（x-x₁）（x-x₂），求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）利用△QOC∽△COA，得出QO的長度，得出Q點的坐標(biāo)，再求出直線QC的解析式，將兩函數(shù)聯(lián)立求出交點坐標(biāo)即可；
（3）首先求出二次函數(shù)頂點坐標(biāo)，S_{四邊形AEPC}=S_{四邊形OEPC}+S_△AOC，以及S_{四邊形AEPC}=S_△AEP+S_△ACP=得出使得S_△MAP=2S_△ACP點M的坐標(biāo)．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點題型，特別注意利用數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點，也是難點，同學(xué)們應(yīng)重點掌握．