Question

如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的對稱軸為y軸，且經過（0，0）和（，）兩點，點P在該拋物線上運動，以點P為圓心的⊙P總經過定點A（0，2）．

（1）求a，b，c的值；

（2）求證：在點P運動的過程中，⊙P始終與x軸相交；

（3）設⊙P與x軸相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）兩點，當△AMN為等腰三角形時，求圓心P的縱坐標．

 

 

Answer 1

（1）a=，b=c=0；（2）證明見解析；（3）P的縱坐標為0或4+2或4﹣2．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意得出二次函數(shù)一般形式進而將已知點代入求出a，b，c的值即可；

（2）設P（x，y），表示出⊙P的半徑r，進而與 x2比較得出答案即可；

（3）分別表示出AM，AN的長，進而分別利用當AM=AN時，當AM=MN時，當AN=MN時，求出a的值，進而得出圓心P的縱坐標即可．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的對稱軸為y軸，且經過（0，0）和（，）兩點，

∴拋物線的一般式為：y=ax2，

∴=a（）2，

解得：a=±，

∵圖象開口向上，∴a=，

∴拋物線解析式為：y=x2，

故a=，b=c=0；

（2）設P（x，y），⊙P的半徑r=，

又∵y=x2，則r=，

化簡得：r=＞x2，

∴點P在運動過程中，⊙P始終與x軸相交；

（3）設P（a，a2），∵PA=，

作PH⊥MN于H，則PM=PN=，

又∵PH=a2，

則MH=NH==2，

故MN=4，

∴M（a﹣2，0），N（a+2，0），

又∵A（0，2），∴AM=，AN=，

當AM=AN時，=，

解得：a=0，

當AM=MN時，=4，

解得：a=2±2（負數(shù)舍去），則a2=4+2；

當AN=MN時，=4，

解得：a=﹣2±2（負數(shù)舍去），則a2=4﹣2；

綜上所述，P的縱坐標為0或4+2或4﹣2．

考點：二次函數(shù)綜合題．