Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∠BCA的平分線與AB邊的垂直平分線相交于點D，DE⊥AC，DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分別是E，F，G.

(1)求證：AE＝BF；

(2)求AE的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2））AE＝1.

【解析】（1）根據中垂線、角平分線的性質來證明Rt△DEA≌Rt△DFB，然后根據全等三角形的對應邊相等推知AE=BF；

（2）設AE＝BF＝x，根據HL可證得Rt△CDE≌Rt△CDF，根據全等三角形對應邊相等可得CE＝CF，可得關于x的方程，解方程即可得.

(1)如圖，連接AD，BD，

∵CD為∠BCA的平分線，∴∠DCE＝∠DCB，

又∵DE⊥CA，DF⊥CB，∴DE＝DF，∠AED＝∠DFB＝90°，

∵DG垂直平分AB，∴DA＝DB，

在Rt△DEA和Rt△DFB中，

，

∴Rt△DEA≌Rt△DFB，

∴AE＝BF；

(2)設AE＝BF＝x，

在Rt△CDE和Rt△CDF中，

，

∴Rt△CDE≌Rt△CDF，

∴CE＝CF，

∴6＋x＝8－x，

∴x＝1，∴AE＝1.