Question

如圖，半徑為1的⊙O的內(nèi)接△ABC，∠ACB=45°，∠AOC=150°，作CD交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，且CD=BC．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：綜合題

分析：（1）連接OB，利用圓周角定理得到∠AOB為直角，即三角形AOB為等腰直角三角形，根據(jù)∠AOC-∠AOB求出∠BOC=60°，得到三角形BOC為等邊三角形，進(jìn)而求出∠ABC度數(shù)，再由CB=CD，利用等邊對(duì)等角求出∠DCB=30°，得到∠OCD為直角，即可得證；
（2）過O作OM垂直于AC于M，利用三線合一得M為AC中點(diǎn)，OM為角平分線，在直角三角形AOM中，利用銳角三角函數(shù)定義求出AM的長(zhǎng)，即可確定出AC的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：連接OB，
∵∠ACB與∠AOB都對(duì)

AB

，∠ACB=45°，
∴∠AOB=90°，即△AOB為等腰直角三角形，
∵∠AOC=150°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC為等邊三角形，
∴∠BCO=60°，
∴∠ABC=∠ABO+∠CBO=105°，即∠CBD=75°，
∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB=75°，即∠DCB=30°，
∴∠OCD=∠OCB+∠DCB=90°，即OC⊥CD，
則CD為圓的切線；

（2）解：過O作OM⊥AC于M，
∵OA=OC，
∴M為AC中點(diǎn)，OM平分∠AOC，
即AM=CM，∠AOM=∠COM=75°，
∵sin75°=sin（45°+30°）=

2

2

×

3

2

+

2

2

×

1

2

=

6 + 2

4

，
∴sin∠AOM=

AM

OA

，即AM=OAsin∠AOM=1×

6 + 2

4

=

6 + 2

4

，
則AC=2AM=

6 + 2

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．