Question

如圖，已知拋物線C₁：的頂點為P，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左邊），點A的橫坐標是．
【小題1】求點坐標及的值；
【小題2】如圖（1），拋物線C₂與拋物線C₁關于x軸對稱，將拋物線C₂向左平移，平移后的拋物線記為C₃，C₃的頂點為M，當點P、M關于點A成中心對稱時，求C₃的解析式；
【小題3】如圖（2），點Q是x軸負半軸上一動點，將拋物線C₁繞點Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C₄．拋物線C₄的頂點為N，與x軸相交于E、F兩點（點E在點F的左邊），當以點P、N、E為頂點的三角形是直角三角形時，求頂點N的坐標．

Answer 1

【小題1】由拋物線C₁：得頂點P的坐標為（2，5）
∵點A（－1，0）在拋物線C₁上∴
【小題2】連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G..
∵點P、M關于點A成中心對稱,∴PM過點A，且PA＝MA..∴△PAH≌△MAG..∴MG＝PH＝5，AG＝AH＝3.∴頂點M的坐標為（，5）
∵拋物線C₂與C₁關于x軸對稱，拋物線C₃由C₂平移得到
∴拋物線C₃的表達式

【小題3】∵拋物線C₄由C₁繞x軸上的點Q旋轉(zhuǎn)180°得到
∴頂點N、P關于點Q成中心對稱. 由（2）得點N的縱坐標為5.設點N坐標為（m，5），作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G，作PR⊥NG于R.∵旋轉(zhuǎn)中心Q在x軸上,
∴EF＝AB＝2AH＝6.
∴EG＝3，點E坐標為（，0），H坐標為（2，0），R坐標為（m，－5）.
根據(jù)勾股定理，得
  
 
   
①當∠PNE＝90º時，PN²+ NE²＝PE²，
解得m＝，∴N點坐標為（，5）
②當∠PEN＝90º時，PE²+ NE²＝PN²，
解得m＝，∴N點坐標為（，5）.
③∵PN＞NR＝10＞NE，∴∠NPE≠90º ………7分
綜上所得，當N點坐標為（，5）或（，5）時，以點P、N、E為頂點的三角形是直角三角形．

解析