Question

在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+b（k為常數(shù)且k≠0）分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，⊙O半徑為個(gè)單位長(zhǎng)度。

（1）如圖甲，若點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)B在y軸正半軸上，且OA=OB。
①求k的值；
②若b=4，點(diǎn)P為直線y=kx+b上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的切線PC、PD，切點(diǎn)分別為C、D，當(dāng)PC⊥PD時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。
（2）若，直線y=kx+b將圓周分成兩段弧長(zhǎng)之比為1∶2，求b的值。（圖乙供選用）

Answer 1

解：（1）①根據(jù)題意得：B的坐標(biāo)為（0，b）， ∴OA=OB=b， ∴A的坐標(biāo)為（b，0），代入y=kx+b得k=-1。
②過P作x軸的垂線，垂足為F，連結(jié)OD ∵PC、PD是⊙O的兩條切線，∠CPD=90°， ∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°， ∵∠PDO=90°，∠POD=∠OPD=45°， ∴OD=PD=，OP= ∵P在直線y=-x+4上，設(shè)P（m，-m+4），則OF=m，PF=-m+4， ∵∠PFO=90°，OF2+PF2=PO2， ∴m2+ （-m+4）2=（）2， 解得m=1或3， ∴P的坐標(biāo)為（1，3）或（3，1）。
（2） 分兩種情形，或 直線將圓周分成兩段弧長(zhǎng)之比為1∶2，可知其所對(duì)圓心角為120°， 如圖，畫出弦心距OC，可得弦心距OC=， 又∵直線中 ∴直線與x軸交角的正切值為，即， ∴AC=，進(jìn)而可得AO=，即直線與與x軸交于點(diǎn)（，0） 所以直線與y軸交于點(diǎn)（，0），所以b的值為 當(dāng)直線與x軸、y軸的負(fù)半軸相交，同理可求得b的值為- 綜合以上得：b的值為或-