Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°．點D為△ABC內一點，

且DB=DC，∠DCB=30°．點E為BD延長線上一點，且AE=AB

1.求∠ADE的度數(shù)

2.若點M在DE上，且DM=DA，

求證：ME=DC．

 

Answer 1

【答案】

 

1.60°

2.

【解析】（1）如圖4．

∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，

∴∠ABC=∠ACB==75°．

∵DB=DC，∠DCB=30°，

∴∠DBC=∠DCB=30°．

∴∠1=∠ABC－∠DBC=75°－30°=45°．

∵AB=AC，DB=DC，

∴AD所在直線垂直平分BC．

∴AD平分∠BAC．

∴∠2=∠BAC==15°．   ∴∠ADE=∠1＋∠2 =45°＋15°=60°． 

證明：（2）證法一：連接AM，取BE的中點N，連接AN．（如圖5）

∵△ADM中，DM=DA，∠ADE=60°，

∴△ADM為等邊三角形．   ∵△ABE中，AB=AE，N為BE的中點，

∴BN=NE，且AN⊥BE．

∴DN=NM．  

∴BN－DN =NE－NM，

即 BD=ME．

∵DB=DC，

∴ME = DC．

證法二：連接AM．（如圖6）

∵△ADM中，DM=DA，∠ADE =60°，

∴△ADM為等邊三角形．

∴∠3=60°．

∵AE=AB，

∴∠E=∠1=45°．

∴∠4=∠3－∠E=60°－45°=15°．

∴∠2=∠4．

在△ABD和△AEM中，

              ∠1 =∠E，

              AB=AE，

              ∠2 =∠4，

∴△ABD≌△AEM．  

∴BD =EM．

∵DB = DC，

∴ME = DC．