Question

13．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（4，0），點P（x，y）是直線y=-x+6上一動點，O是坐標原點．
（1）求△OPA的面積S與x的函表達式；
（2）當P點坐標為多少時，S=10？
（3）在直線y=-x+6上求一點Q，使△QOA是以OA為底邊的等腰三角形；（在圖中作出Q點，并寫出Q點坐標）
（4）在直線y=-x+6上點M的坐標，使△MOA是以OA為直角邊的直角三角形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意求出OA的長，根據(jù)一次函數(shù)的性質和三角形面積公式列出△OPA的面積S與x的函數(shù)關系式；
（2）把S=10代入關系式，解方程即可；
（3）根據(jù)線段垂直平分線的性質和作法進行解答；
（4）分∠MOA=90°和∠OAM兩種情況，根據(jù)一次函數(shù)的性質解答即可．

解答 解：（1）∵點A（4，0），O是坐標原點，
∴OA=4，
∵點P（x，y）是第一象限直線y=-x+6上的點，
∴S=$\frac{1}{2}$×OA×y=$\frac{1}{2}$×4×（-x+6）=-2x+12；
（2）當S=10時，-2x+12=10，
∴x=1，y=-x+6=5，
∴P（1，5）；
（3）作線段OA的垂直平分線交直線y=-x+6于點Q，則點Q即為所求，
∵OA=4，
∴點Q的橫坐標為2，
當x=2時，y=-x+6=4，
則點Q的坐標為（2，4）；
（4）當∠MOA=90°時，點M的坐標為（0，4），
當∠OAM=90°時，點M的橫坐標為4，
則y=-x+6=2，
點M的坐標為（4，2）．

點評 本題考查的是一次函數(shù)圖象和性質、坐標與圖形的關系以及線段垂直平分線的性質，根據(jù)題意列出函數(shù)關系式是解題的關鍵，注意分情況討論思想的應用．