Question

已知拋物線y=ax²+bx+c （0＜2a＜b）的頂點(diǎn)為P （x₀，y₀），點(diǎn)A （1，y_A）、B （0 ，y_B）、C （-1，y_C）在該拋物線上。
（Ⅰ）當(dāng)a=1 ，b=4 ，c=10時(shí)，
①求頂點(diǎn)P 的坐標(biāo)；
②求的值；
（Ⅱ）當(dāng)y0 ≥0 恒成立時(shí)，求的最小值。

Answer 1

解：（Ⅰ）若a=1，b=4，c=10， 此時(shí)拋物線的解析式為y=x2+4x+10， ① ∵ ， ∴ 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（-2，6）； ②∵點(diǎn)在拋物線上， ∴， ∴； （Ⅱ）由0<2a<b，得， 由題意，如圖，過點(diǎn)A作AA1⊥x軸于點(diǎn)A1，則AA1=yA，OA1=1， 連接BC，過點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，則BD=yB-yC，CD=1， 過點(diǎn)A作AF∥BC，交拋物線于點(diǎn)E（x1，ye），交x軸于點(diǎn)，則， 于是，有，即， 過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，易得， 有，即， ∵ 點(diǎn)在拋物線， 得， ∴ ， 化簡(jiǎn)，得，解得（x1=1舍去）， ∵恒成立，根據(jù)題意，有，則，即， ∴ 的最小值為3。