Question

如圖，點(diǎn)A，B，C在同一直線上，△ABD，△BCE都是等邊三角形．
（1）求證：AE=CD；
（2）若M，N分別是AE，CD的中點(diǎn)，試判斷△BMN的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）證明：∵△ABD、△BCE都是等邊三角形，
∴AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠DBE=∠DBE+∠CBE即∠ABE=∠DBC，
∴在△ABE和△DBC中，
△ABE≌△DBC．
∴AE=CD．

（2）解：△MBN是等邊三角形．
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC．
∵AE=CD，M、N分別是AE、CD的中點(diǎn)，
∴AM=DN；
又∵AB=DB．
∴△ABM≌△DBN．
BM=BN．
∠ABM=∠DBN．
∴∠DBM+∠DBN=∠DBM+∠ABM=∠ABD=60°．
∴△MBN是等邊三角形．
分析：（1）要求AE=CD，可把兩條線段放在△ABE，△DBC中，求兩個(gè)三角形全等即可．
（2）判斷題，也即分析證明題，在（1）的基礎(chǔ)上，通過三角形的全等，可證明其為等邊三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)；可圍繞結(jié)論尋找全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)判定線段相等，證得三角形全等是正確解答本題的關(guān)鍵．