Question

17．已知：如圖，拋物線y=a（x-1）²+c與y軸交于點(diǎn)C（0，-4），與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是線段AB上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD∥BC，交AC于點(diǎn)D，連接CP．當(dāng)△CPD的面積最大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若平行于y軸的動直線l與該拋物線交于點(diǎn)Q，與直線BC交于點(diǎn)F，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）．問：是否存在這樣的直線l，使得△OMF是等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將A、C的坐標(biāo)代入求出a、c的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）根據(jù)A、B、C的坐標(biāo)求出AB、BC的關(guān)系式，設(shè)P的坐標(biāo)為（t，0），根據(jù)PD∥BC，可得PD的解析式為y=x-t，求出AC、DP的交點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后根據(jù)S_△CPD=S_△CPA-S_△DPA，表示出△CPD的面積，求出△CPD的面積最大時，點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）存在這樣的直線l，使得△OMF是等腰三角形，理由為：在△OMF中，分三種情況考慮：①OF=MF；②MO=MF；③OM=OF，分別求出Q的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）把A（-2，0），C（0-4）代入拋物線關(guān)系式得，
$\left\{\begin{array}{l}{a+c=-4}\\{9a+c=0}\end{array}\right.$
得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{c=-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
故拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{2}$（x-1）²-$\frac{9}{2}$；
（2）由題意求得，B（4，0），
由B（4，0），C（0，-4），求得直線BC的關(guān)系式為y=x-4，
由A（-2，0），C（0，-4），求得直線AC的關(guān)系式為y=-2x-4，
設(shè)點(diǎn)P為（t，0）（-2≤t≤4），
∵PD∥BC，
∴直線PD關(guān)系式為y=x-t，
∵點(diǎn)D是直線AC與PD的交點(diǎn)，求得D（$\frac{t-4}{3}$，$\frac{-2t-4}{3}$），
∴S_△CPD=S_△CPA-S_△DPA=$\frac{1}{2}$（t+2）×4-$\frac{1}{2}$（t+2）×$\frac{2t+4}{3}$
=-$\frac{1}{3}$t²+$\frac{2}{3}$t+$\frac{8}{3}$
=-$\frac{1}{3}$（t-1）²+3，
當(dāng)t=1時，即P（1，0）時△CPD的面積最大；
（3）①若OM為底邊，有FO=FM，得F（1，-3）
把x=1代入拋物線，求得y=-$\frac{9}{2}$，
∴Q坐標(biāo)為（1，-$\frac{9}{2}$），
②若OM為腰，
當(dāng)MO=MF=2時，得F（2，-2）
把x=2代入拋物線，求得y=-4，
∴Q坐標(biāo)為（2，-4），
當(dāng)OM=OF時，點(diǎn)O到直線BC的距離為2$\sqrt{2}$，
∴OF≥2$\sqrt{2}$，
而OM=2，
∴OM≠OF；
綜上所述，Q坐標(biāo)為（1，-$\frac{9}{2}$）或（2，-4）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及了二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法確定拋物線解析式、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，利用了分類討論的思想，熟練掌握待定系數(shù)法是解答本題的關(guān)鍵．