Question

如圖，已知拋物線y=﹣x²+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），C（2，3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N，其頂點(diǎn)為D．
（1）拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)點(diǎn)M（3，m），求使MN+MD的值最小時(shí)m的值；
（3）若拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與直線AC相交于點(diǎn)B，E為直線AC上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BD交拋物線于點(diǎn)F，以B，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△APC的面積的最大值．

Answer 1

解：（1）由拋物線y=﹣x²+bx+c過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）及C（2，3）得，
，解得，
故拋物線為y=﹣x²+2x+3
又設(shè)直線為y=kx+n過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）及C（2，3）得
，解得
故直線AC為y=x+1；
（2）作N點(diǎn)關(guān)于直線x=3的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N'，則N'（6，3），
由（1）得D（1，4），
故直線DN'的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x+，
當(dāng)M（3，m）在直線DN'上時(shí)，
MN+MD的值最小，則m=﹣×=；
（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）
∵點(diǎn)E在直線AC上， 設(shè)E（x，x+1），
①當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E上方， 則F（x，x+3），
∵F在拋物線上，
∴x+3=﹣x²+2x+3，
解得，x=0或x=1（舍去）
∴E（0，1）；
②當(dāng)點(diǎn)E在線段AC（或CA）延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E下方，
則F（x，x﹣1）
由F在拋物線上∴x﹣1=﹣x²+2x+3
解得x=或x=
∴E（，）或（，）
綜上，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)E為E（0，1）、（，）或（，）；
（4）方法一：過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q；
過(guò)點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，如圖1設(shè)Q（x，x+1），
則P（x，-x²+2x+3）
∴PQ=（-x²+2x+3）-（x﹣1）=-x²+x+2
又∵S_△APC=S_△APQ+S_△CPQ=PQ·AG=（-x²+x+2）×3=-（x﹣）²+
∴面積的最大值為．