Question

2．如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊，使點B落到點B′的位置，AB′與CD交于點E．
（1）求證：△AED≌△CEB′；
（2）若P為線段AC上的任意一點，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，則請你證明PH•AP=PG•CP．

Answer 1

分析 （1）由折疊的性質知，CB′=BC=AD，∠B=∠B′=∠D=90°，∠B′EC=DEA，則由AAS得到△AED≌△CEB′；
（2）PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，則∠PGA=∠PHC=90°，根據(jù)折疊的性質和矩形的性質易證∠PAG=∠PCH，則△PGA∽△PHC，所以PH•AP=PG•CP．

解答 解：（1）△AED≌△CEB′
證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，
又∵∠B′EC=∠DEA，
∴△AED≌△CEB′；
（2）∵四邊形ABCD為矩形，
∴CD∥AB
∴∠DCA=∠BAC
根據(jù)折疊的性質∠EAC=∠BAC
∴∠PAG=∠PCH，
∵PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，
∴∠PGA=∠PHC=90°，
∴△PGA∽△PHC，
∴$\frac{PA}{PC}=\frac{PG}{PH}$
∴PH•AP=PG•CP．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質、矩形的性質、折疊的性質以及相似三角形的判定與性質，熟悉折疊圖形的特點，熟練運用全等和相似的性質和判定是解決問題的關鍵．