Question

在△ABC中，∠A=40°
（1）如圖1，若兩內(nèi)角∠ABC、∠ACB的角平分線交于點(diǎn)P，則∠P=______，∠A與∠P之間的數(shù)量關(guān)系是______．為什么有這樣的關(guān)系？請(qǐng)證明它；
（2）如圖2，若內(nèi)角∠ABC、外角∠ACE的角平分線交于點(diǎn)P，則∠P=______，∠A與∠P之間的數(shù)量關(guān)系是______；
（3）如圖3，若兩外角∠EBC、∠FCB的角平分線交于點(diǎn)P，則∠P=______，∠A與∠P之間的數(shù)量關(guān)系是______．

Answer 1

解：（1）∠ABC+∠C=180°-∠A=180°-40°=140°
∴（∠ABC+∠C）=×140°=70°，
∴∠P=180°-（∠ABC+∠C）=110°．
∠A與∠P之間的數(shù)量關(guān)系是∠P=90°+∠A；

（2）∵∠ACE=∠ABC+∠P，
∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠P，
∴（40°+∠ABC）=∠ABC+∠P，
∴∠P=20°．
∠A與∠P之間的數(shù)量關(guān)系是∠P=∠A；

（3）∵∠EBC=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC，
∴∠EBC+∠BCF=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A，
∴∠PBC+∠PCB=90°+∠A．
又∵∠PBC+∠PCB+∠P=180°，
∴90°+∠A+∠P=180°，即∠P=90°-∠A．
分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B和∠C，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和是180°求出∠P=180°-（∠B+∠C）；（2）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及叫平分線的性質(zhì)可求出∠P，可得∠A與∠P之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求得：∠EBC+∠BCF=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A，在△BCP中根據(jù)角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理即可求解．
點(diǎn)評(píng)：①幾何計(jì)算題中，如果依據(jù)題設(shè)和相關(guān)的幾何圖形的性質(zhì)列出方程（或方程組）求解的方法叫做方程的思想；
②求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180°”這一隱含的條件；
③三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．