Question

已知：拋物線y=x²-（m+1）x+m與x軸交于點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0）（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C。
（1）若m＞1，△ABC的面積為6，求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D在x軸下方，是（1）中的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在該拋物線對(duì)稱軸的左側(cè)，作DE∥x軸與拋物線交于另一點(diǎn)E，作DF⊥x軸于F，作EG⊥x軸于點(diǎn)G，求矩形DEGF周長(zhǎng)的最大值；
（3）若m<0，以AB為一邊在x軸上方做菱形ABMN（∠NAB為銳角）， P是AB邊的中點(diǎn)，Q是對(duì)角線AM上一點(diǎn)，若，，當(dāng)菱形ABMN的面積最大時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)。

Answer 1

解：∵ 拋物線與x軸交于點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0），
∴ x₁、x₂是關(guān)于x的方程的解
解方程，得x=1或x=m
（1）∵ A在B 的左側(cè)，m>1，
∴ ，
∴ AB=m-1
拋物線與y軸交于C（0，m）點(diǎn)
∴ OC=m
△ABC的面積S=
解得（不合題意，舍去）
∴ 拋物線解析式為
（2）∵ 點(diǎn)D在（1）中的拋物線上，
∴ 設(shè)D（t，）（）
∴ F（t，0），DF=
又拋物線對(duì)稱軸是直線，DE與拋物線對(duì)稱軸交點(diǎn)記為R（如圖1），

∴ DR=，DE=。
設(shè)矩形DEGF的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，則 L=2（DF+DE）
∴ L =2


∵ ，
∴ 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，L有最大值。
當(dāng)時(shí)，
∴ 矩形周長(zhǎng)的最大值為
（3）∵ A在B 的左側(cè)，m<0，
∴ ，
∴ AB=1-m
如圖2，作NH⊥AB于H，連結(jié)QN

在Rt△AHN中， 
設(shè)AH=4k（k>0）， 則AN=5k，NH=3k
∴ AP=，PH=AH-AP==，
PN=
∵ 菱形ABMN是軸對(duì)稱圖形，
∴ QN=QB
∴ PQ+QN=PQ+QB=6
∵ PQ+QN≥PN（當(dāng)且僅當(dāng)P、Q、N三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立）
∴ ，
解得 k≤
∵
∴ 當(dāng)菱形面積取得最大值48時(shí)，k=
此時(shí)AB=5k=1-m=
解得 m=1-
∴ A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1-，0）。