Question

11．已知：△ABC和△ADE是等邊三角形，連接CE且CE=6，BD=3CD；AC和ED的延長線交于K，求AK的長．

Answer 1

分析 過D作DF∥AB，交AK于F，先證明△ADF≌△EDC，得EC=AF=6，∠ECD=∠CFD=60°，再證明FD∥EC，和DF∥AB，得相似，列兩組比例式可分別求出FC和FK的長，所以AK=AC+CF+FK=4+2+1=7．

解答 解：過D作DF∥AB，交AK于F，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∴∠FCD=∠ACB=60°，
∵DF∥AB，
∴∠CDF=∠B=60°，
∴△FCD是等邊三角形，
∴CD=FD=CF，∠CFD=60°，
∵△ADE是等邊三角形，
∴AD=AE，∠ADE=60°，
∴∠ADE=∠CDF=60°，
∴∠ADE+∠BDA=∠CDF+∠BDA，
即∠CDE=∠FDA，
∴△ADF≌△EDC，
∴EC=AF=6，∠ECD=∠CFD=60°，
∴∠ACE=180°-60°-60°=60°，
∴∠ACE=∠CFD，
∴CE∥FD，
∴△KFD∽△KCE，
∴$\frac{FD}{CE}=\frac{FK}{CK}$①，
設FD=FC=x，
∵FD∥AB，
∴△FCD∽△ACB，
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{CF}{AC}$，
∵BD=3CD，
∴$\frac{CF}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴CF=x，AC=2x，
x+2x=6，
x=2，
∴CF=2，AC=4，
由①得：$\frac{2}{6}=\frac{FK}{2+FK}$，
∴FK=1，
∴AK=AC+CF+FK=4+2+1=7．

點評 本題考查了全等三角形和等邊三角形的性質和判定，同時與平行得相似結合，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式，設FC=x，得一次方程，求出方程的解；通過作輔助線，將所求的邊AK分成三條線段，分別求出三條線段的長，從而使問題得以解決．