Question

6．如圖，點P（4，1）在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上．
（1）則k的值為4；
（2）若正方形ABCD的頂點B，C在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，頂點A，D分別在x軸和y軸的正半軸上，求點C的坐標．

Answer 1

分析 （1）將點P的坐標代入雙曲線解析式中解答即可；
（2）過點B作BE⊥OA于點E，過點C作CF⊥OD于點F，易證得：△DOA≌△AEB≌△CFD，易得B（a+b，a），C（b，a+b），繼而求得a的值，則可求得點C的坐標．

解答 解：（1）點P（4，1）在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上，
將x=4，y=1代入解析式可得：
k=4；
故答案為：4；

（2）過點B作BE⊥OA于點E，過點C作CF⊥OD于點F，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC，∠CDA=90°，
∴∠FDC+∠ODA=90°，
∵∠CFD=∠DOA=90°，
∴∠FCD+∠FDC=90°，
∴∠FDC=∠OAD，
在△CFD和△AOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CFD=∠DOA}\\{∠FDC=∠OAD}\\{DC=AD}\end{array}\right.$，
∴△CFD≌△AOD（AAS），
同理可得：△DOA≌△AEB≌△CFD，
∴CF=OD=AE=b，DF=OA=BE=a，
設A（a，0），D（0，b），
則B（a+b，a），C（b，a+b），
可得：b（a+b）=4，a（a+b）=4，
解得：a=b=$\sqrt{2}$．
所以點C的坐標為：（$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）．

點評 此題屬于反比例函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、正方形的性質與判定、全等三角形的判定與性質以及勾股定理等知識．此題難度較大，綜合性很強，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想與方程思想的應用．