Question

18．如圖，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB的中點，點E在AC上，DE⊥AB，則cos∠ABE的值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}-1}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{5}+1}{4}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到點E是線段AC的黃金分割點，根據(jù)余弦的概念計算即可．

解答 解：∵AB=AC，∠C=72°，
∴∠A=36°，
∵D是AB的中點，點E在AC上，DE⊥AB，
∴EA=EB，
∴∠ABE=∠A=36°，
∴點E是線段AC的黃金分割點，
∴BE=AE=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$×4=2（$\sqrt{5}$-1），
∴cos∠ABE=$\frac{BD}{BE}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$，
故選：C．

點評 本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定和性質(zhì)、黃金分割的概念，掌握等腰三角形的性質(zhì)、熟記黃金比值是解題的關(guān)鍵．