Question

8．正方形ABCD中，點EF分別在邊BC和CD上，且AE⊥BF．點C關(guān)于自線BF的對稱點為點G，連線FG并延長交AD于點H，若點H是AD的三等分點，則的$\frac{BE}{BC}$值為$\frac{1}{5}$或$\frac{11}{12}$．

Answer 1

分析 如圖，連接BG、BH．首先證明△BHA≌△BHG，△ABE≌△BCF，推出AH=GH，CF=BE，分兩種情形討論①當(dāng)AH=2a，DH=a時，設(shè)CF=b，②當(dāng)AH=a，DH=2a時，設(shè)CF=b，
利用勾股定理列出方程求出a、b關(guān)系即可解決問題．

解答 解：如圖，連接BG、BH．

∵C、G關(guān)于BF對稱，
∴CF=FG，BC=BG=AB，∠C=∠BGF=90°，
在Rt△BHA和Rt△BHG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BH=BH}\\{BA=BG}\end{array}\right.$，
∴△BHA≌△BHG．
∴AH=GH，
∵AE⊥BF，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠FBC，∵AB=BC，∠ABE=∠C，
∴△ABE≌△BCF，
∴CF=BE，
設(shè)AB=BC=CD=AD=3a，
①當(dāng)AH=2a，DH=a時，設(shè)CF=b，
在Rt△DHF中，∵DH²+DF²=HF²，
∴a²+（3a-b）²=（2a+b）²，
∴b=$\frac{3}{5}$a，
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{\frac{3}{5}a}{3a}$=$\frac{1}{5}$，
②當(dāng)AH=a，DH=2a時，設(shè)CF=b，同理可得，（2a）²+（3a-b）²=（a+b）²，
∴b=$\frac{11}{4}a$，
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{\frac{11}{4}a}{3a}$=$\frac{11}{12}$，
綜上所述$\frac{BE}{BC}$=$\frac{1}{5}$或$\frac{11}{12}$．
故答案為$\frac{1}{5}$或$\frac{11}{12}$．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)．勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．