Question

1．4²⁷+4¹⁰⁰⁰+4ⁿ為完全平方數(shù)，求n的值．1972或513或-947．

Answer 1

分析 通過(guò)提公因式，把原式整理成完全平方式的形式，從而推出n的值．

解答 解：因?yàn)?²⁷+4¹⁰⁰⁰+4ⁿ=2⁵⁴（1+2•2¹⁹⁴⁵+2^2n-54），
所以當(dāng)2n-54=2×1945，即n=1972時(shí)，上式為完全平方數(shù)，
因?yàn)?²⁷+4¹⁰⁰⁰+4ⁿ=2⁵⁴（1+2¹⁹⁴⁶+2•2^2n-53），
所以當(dāng)1946=2×（2n-53），即n=513時(shí)，上式為完全平方數(shù)，
因?yàn)?²⁷+4¹⁰⁰⁰+4ⁿ=2⁵⁴（2¹⁹⁴⁶+2•2^-1+2^2n-54），
2⁹⁷³•2^n-27=2^-1，即n=-947時(shí)，上式為完全平方數(shù)，
故答案為1972或513或-947．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了完全平方數(shù)，正確利用完全平方數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．