Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CA是⊙O的切線，在⊙O上取點(diǎn)D，連接CD，使得AC=DC，延長(zhǎng)CD交直線AB于點(diǎn)E．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）作AF⊥CD于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)G，若⊙O的半徑是6cm，ED=8cm，求GF的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：連結(jié)OD、OC，如圖，
∵CA是⊙O的切線，
∴OA⊥AC，即∠OAC=90°，
在△OAC和△ODC中
，
∴△OAC≌△ODC，
∴∠ODC=∠OAC=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：連結(jié)BG，如圖，
在Rt△OBD中，DE=8cm，OD=6cm，
∴OB==10，
∵AF⊥CD，
∴OD∥AF，
∴△EOD∽△EAF，

∴=，即=，
∴AF=，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AGB=90°，
∴BG∥EF，
∴=，
而AE=BO+OA=10+6=16，
∴BE=AE-AB=16-12=4，
∴=，
∴GF=（cm）．
分析：（1）連結(jié)OD、OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得OA⊥AC，即∠OAC=90°，然后利用“SSS”可判斷△OAC≌△ODC，則∠ODC=∠OAC=90°，于是可根據(jù)切線的判斷方法得到結(jié)論；
（2）連結(jié)BG，在Rt△OBD中，利用勾股定理計(jì)算出OB=10，由AF⊥CD，OD⊥CD得到OD∥AF，則△EOD∽△EAF，然后利用相似比可計(jì)算出AF=，
由AB為⊙O的直徑，得∠AGB=90°，所以BG∥EF，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理得到=，再把BE、AE、AF的長(zhǎng)代入計(jì)算即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定與性質(zhì)：過(guò)半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線為圓的切線；圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了勾股定理、圓周角定理的推論以及三角形相似的判定與性質(zhì)．