Question

如圖，正方形ABCD，E、F分別是CB、DC延長線上一點，且BE=CF．
（1）AF、DE有何關(guān)系？寫出你的結(jié)論，并說明理由．
（2）連接AE、EF，則四邊形AEFD的中點四邊形是什么特殊的四邊形？并說明理由．

Answer 1

解：（1）AF=DE．
理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC=AB，∠ADC=∠BCD=90°，
∵BE=CF，
∴CE=DF，
在△ADF和△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴AF=DE；

（2）四邊形AEFD的中點四邊形是正方形．
理由：∵AF=DE，
∴四邊形AEFD的中點四邊形是菱形；
∵△ADF≌△DCE，
∴∠AFD=∠DEC，
∵∠CDE+∠DEC=90°，
∴∠AFD+∠CDE=90°，
∴AF⊥DE，
∴四邊形AEFD的中點四邊形是正方形．
分析：（1）由正方形ABCD，E、F分別是CB、DC延長線上一點，且BE=CF，易證得△ADF≌△DCE（SAS），則可證得AF=DE；
（2）由（1）可得AF=DE，繼而證得AF⊥DE，可得四邊形AEFD的中點四邊形是正方形．
點評：此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及中點四邊形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．