Question

有一個(gè)二次函數(shù)的圖象，三位學(xué)生分別說出了它的一些特點(diǎn)．
甲：對(duì)稱軸是直線x=4；
乙：與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)；
丙：與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)也是整數(shù)，且以這三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為3；
請(qǐng)寫出滿足上述全部特點(diǎn)的二次函數(shù)解析式．

Answer 1

【答案】分析：由對(duì)稱軸是直線x=4，與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)，可設(shè)與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），（5，0），又因?yàn)橐院瘮?shù)與x軸，y軸交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為3，可得與y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）．利用交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-x₁）（x-x₂），求出解析式．
解答：解：此題答案不唯一
設(shè)所求解析式為y=a（x-x₁）（x-x₂），（其中x₁＜x₂），則
其圖象與x軸兩交點(diǎn)分別是A（x₁，0），B（x₂，0），與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，ax₁x₂）．
因?yàn)榻稽c(diǎn)式a（x-x₁）（x-x₂），
又因?yàn)榕cy軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，
所以a（0+x₁）（0+x₂），也就是ax₁x₂，
∵拋物線對(duì)稱軸是直線x=4，
∴x₂-4=4-x₁，即：x₁+x₂=8 ①
∵S△ABC=3，∴（x₂-x₁）•|ax₁x₂|=6，即：x₂-x₁=②
①②兩式相加減，可得：x2=4+，
x₁=4-，
∵x₁，x₂是整數(shù)，ax₁x₂也是整數(shù)，
∴ax₁x₂是3的約數(shù)，共可取值為：±1，±3．
當(dāng)ax₁x₂=±1時(shí)，x₂=7，x₁=1，a=±
當(dāng)ax₁x₂=±3時(shí)，x₂=5，x1=₃，a=±
因此，所求解析式為：y=±（x-7）（x-1）或y=±（x-5）（x-3）
即：y₁=x²-x+1，
y₂=-x²+x-1．
y₃=x²-x+3，
y₄=-x²+x-3．
故答案為：y=x²-x+3（答案不唯一）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，此題是開放題，解題的關(guān)鍵理解題意．還要注意利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，當(dāng)題目中出現(xiàn)二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，采用交點(diǎn)式比較簡單．