Question

在平面直角坐標系xOy中，點A₁，A₂，A₃，…和B₁，B₂，B₃，…分別在直線m和x軸上．△OA₁B₁，△B₁A₂B₂，△B₂A₃B₃，…都是等腰直角三角形，已知A₁坐標為（1，1），A₂坐標為（

7

2

，

3

2

）．
（1）求直線m的解析式；
（2）求A₃的坐標；
（3）直接寫出點A_n縱坐標．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線的解析式，
（2）求出直線與x軸、y軸的交點坐標，求出直線與x軸的夾角的正切值，分別過等腰直角三角形的直角頂點向x軸作垂線，然后根據(jù)等腰直角三角形斜邊上的高線與中線重合并且等于斜邊的一半，利用正切值列式依次求出三角形的斜邊上的高線，即可得到A₃的坐標；
（3）由（2）得出各點的縱坐標的規(guī)律．

解答：解：（1）∵A₁（1，1），A₂（

7

2

，

3

2

）在直線y=kx+b上，
∴

k+b=1 7 2 k+b= 3 2

，
解得

k= 1 5 b= 4 5

，
∴直線解析式為y=

1

5

x+

4

5

；

（2）如圖，設(shè)直線與x軸、y軸的交點坐標分別為N、M，
當x=0時，y=

4

5

，
當y=0時，

1

5

x+

4

5

=0，解得x=-4，
∴點M、N的坐標分別為M（0，

4

5

），N（-4，0），
∴tan∠MNO=

MO

NO

=

4 5

4

=

1

5

，
作A₁C₁⊥x軸與點C₁，A₂C₂⊥x軸與點C₂，A₃C₃⊥x軸與點C₃，
∵A₁（1，1），A₂（

7

2

，

3

2

），
∴OB₂=OB₁+B₁B₂=2×1+2×

3

2

=2+3=5，
tan∠MNO=

A3C3

NC3

=

A3C3

4+5+B 3C3

=

1

5

，
∵△B₂A₃B₃是等腰直角三角形，
∴A₃C₃=B₂C₃，
∴A₃C₃=

9

4

=（

3

2

）²，

9

4

=

1

5

x+

4

5

，
解得：x=

29

4

，
∴A₃的坐標為：（

29

4

，

9

4

）；

（3）∵A₁（1，1），A₂（

7

2

，

3

2

），
A₃的坐標為：（

29

4

，

9

4

）；
同理可求，第四個等腰直角三角形A₄C₄=

27

8

=（

3

2

）³，
依此類推，點A_n的縱坐標是（

3

2

）^n-1．

點評：此題主要考查了一次函數(shù)的綜合，主要利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰直角三角形斜邊上的高線就是斜邊上的中線，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及正切的定義，規(guī)律性較強，注意指數(shù)與點的腳碼相差1．