Question

已知AB=20，DA⊥AB于點A，CB⊥AB于點B，DA=10，CB=5．
（1）在AB上找一點E，使EC=ED，并求出EA的長；
（2）在AB上找一點F，使FC+FD最小，并求出這個最小值．

Answer 1

分析：（1））作CD的垂直平分線，交AB于點E，再根據(jù)勾股定理計算出AE的長即可；
（2）作C點關(guān)于AE的對稱點Q，連接DQ，交AE于點F，這時FC+FD最��；延長DA，過Q作MQ∥AB構(gòu)造直角三角形QMD，再利用勾股定理計算出QD的長度即可．

解答：解：（1）作CD的垂直平分線，交AB于點E，連接DE，CE，
則ED=EC，
設(shè)EA=x，則BE=20-x，
（20-x）²+5²=x²+10²，
解得：x=

65

8

，
則AE=

65

8

；

（2）如圖所示：作C點關(guān)于AE的對稱點Q，連接DQ，交AE于點F，這時FC+FD最小，
延長DA，過Q作MQ∥AB，
∵AB=20，
∴QM=20，
∵C點關(guān)于AE的對稱點Q，CB=5，
∴QB=AM=5，
∵AD=10，
∴MD=15，
在Rt△DQM中，DQ=

DM2+QM2

=

152+202

=25．
則FC+FD最小，這個最小值=25．

點評：此題主要考查了軸對稱最短路徑，以及勾股定理的應(yīng)用，在直線l上的同側(cè)有兩個點A、B，在直線l上有到A、B的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關(guān)于直線l的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L的交點就是所要找的點．