Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC = 4，AB邊上有一動(dòng)點(diǎn)P(不與A、B重合)，連結(jié)DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射線BC于點(diǎn)E，設(shè)AP=x．

（1）當(dāng)x為何值時(shí)，△APD是等腰三角形？ （2）若設(shè)BE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； （3）若BC的長可以變化，在現(xiàn)在的條件下，是否存在點(diǎn)P，使得PQ經(jīng)過點(diǎn)C？若存在，求出相應(yīng)的AP的長；若不存在，請(qǐng)說明理由，并直接寫出當(dāng)BC的長在什么范圍內(nèi)時(shí)，可以存在這樣的點(diǎn)P，使得PQ經(jīng)過點(diǎn)C．

Answer 1

（1）解：過D點(diǎn)作DH⊥AB于H ，則四邊形DHBC為矩形，        ∴DH=BC=4，HB=CD=6 ∴AH=2，AD=2        ∵AP=x， ∴PH=x-2，      情況①：當(dāng)AP=AD時(shí)，即x=2       情況②：當(dāng)AD=PD時(shí)，則AH=PH ∴2=x-2，解得x= 4       情況③：當(dāng)AP=PD時(shí)，則Rt△DPH中，x2=42+(x-2)2，解得x=5        ∵2<x<8，∴當(dāng)x為2、4、5時(shí)，△APD是等腰三角形； （2）易證：△DPH∽△PEB    ； （3）若存在，則此時(shí)BE=BC=4，即y=-x2+x-4=4，          整理得： x2-10x+32=0           ∵△=(-10)2-4×32<0，∴原方程無解，          ∴不存在點(diǎn)P，使得PQ經(jīng)過點(diǎn)C         當(dāng)BC滿足0＜BC≤3時(shí)，不存在點(diǎn)P，使得PQ經(jīng)過點(diǎn)C 。