Question

如圖，在平面直角坐標系中，點B坐標為（4，4），過點B作BA⊥x軸、BC⊥y軸，垂足分別為點A、C．點P為線段BC上的一點（不與點C、B重合），點D在OC上，點E在AB上，將四邊形OAED以直線DE為對稱軸翻疊，使點O落在P處，點A的對應點為點F，PF交AB于Q，連接OP．
（1）求證：∠OPC=∠OPF；
（2）設點P坐標為（m，4），△PBQ的周長為n，當點P在邊CB上移動時，△PBQ的周長是否發(fā)生變化？若不變化，求出n的值；若變化，求出n與m的函數(shù)關系式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)翻折變換的性質得出OD=DP，∠AOD=∠FPD=90°，進而得出∠POD=∠DPO，再利用等量代換得出∠OPC=∠OPF；
（2）首先過點O作OG⊥PF，垂足為G，連接OQ，得出△OPC≌△OPG，進而得出Rt△OGQ≌Rt△OAQ（HL），得出n=BP+BQ+PQ=BP+BQ+PG+QG=BP+CP+BQ+QG=BC+AB，即可得出答案．

解答：（1）證明：由題意可得：OD=DP，∠AOD=∠FPD=90°，
∴∠POD=∠DPO，
∵∠POD+∠CPO=90°，∠DPO+∠OPF=90°，
∴∠OPC=∠OPF；

（2）解：m的值不變；
如圖：過點O作OG⊥PF，垂足為G，連接OQ，
則∠COP=∠OGP，
在△OPC和△OPG中

∠OCP=∠OGP ∠CPO=∠GPO OP=OP

，
∴△OPC≌△OPG（AAS），
∴OC=OG，PC=PG，
∵點B坐標為：94，4），
∴OA=OC=BC=AB=4，
∴OG=OA，
在Rt△OGQ和Rt△OAQ中

OG=OA OQ=OQ

，
∴Rt△OGQ≌Rt△OAQ（HL），
∴AQ=GQ，
∴n=BP+BQ+PQ=BP+BQ+PG+QG
=BP+CP+BQ+QG
=BC+AB
=4+4
=8．

點評：此題主要考查了翻折變換的性質以及全等三角形的判定與性質和正方形的性質等知識，根據(jù)已知得出AQ=GQ和PC=PG是解題關鍵．