Question

如圖，O是坐標原點，直線OA與雙曲線（k≠0）在第一象限內(nèi)交于點A，過點A作AB⊥x軸，垂足為B，若OB=4，tan∠AOB=．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）直線AC與y軸交于點C（0，1），與x軸交于點D，求AD的長．

Answer 1

解：（1）∵AB⊥x軸，OB=4，tan∠AOB=，
∴=，
∴AB=2，
∴A點坐標為（4，2），
把A（4，2）代入y=得，k=4×2=8，
∴雙曲線的解析式為y=；

（2）設直線AC的解析式為y=kx+b，
把A（4，2）、C（0，1）代入得，4k+b=2，b=1，解得k=，b=1，
∴直線AC的解析式為y=x+1，
令y=0，則x+1=0，解得x=-4，
∴D點坐標為（-4，0），
在Rt△ABD中，AB=2，BD=8，
∴AD===2．
分析：（1）根據(jù)正切的定義得到=，而OB=4，得到AB=2，則A點坐標為（4，2），然后把A（4，2）代入y=即可求出k，從而確定雙曲線的解析式；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，然后確定D點坐標，最后根據(jù)勾股定理計算出AD的長．
點評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：先利用幾何條件確定反比例函數(shù)圖象上點的坐標，再利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式，然后利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解決問題．也考查了勾股定理．