Question

11．如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x軸分別交于A、B兩點，與y軸的正半軸交于C點，拋物線的頂點為D，連接BC、BD，拋物線上是否存在一點P，使得∠PCB=∠CBD？若存在，求P點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 根據(jù)題意得出A，B，C的坐標(biāo)，進而得出△BCD是直角三角形，再過B點作BE垂直于BC，連接EC，且BE=$\sqrt{2}$，求出△ECB≌△DBC（SAS），進而得出EC直線解析式，即可得出P點坐標(biāo)．

解答 解：連接DC，
當(dāng)y=0則0=-x²+2x+3，
解得：x₁=-1，x₂=3，
當(dāng)x=0，則y=3，
故A（-1 0），B（3 0），C（0 3），
y=-x²+2x+3
=-（x-1）²+4，
故D（1 4），
因此BC=3$\sqrt{\sqrt{2}}$，
BD=2$\sqrt{5}$，CD=$\sqrt{2}$，
故CD²+BC²=BD²，
因此滿足△BCD是直角三角形且∠BCD=90°，
過B點作BE垂直于BC，連接EC，且BE=$\sqrt{2}$，
∵CO=OB=3，
∴∠OCB=∠CBO=45°，
故∠EBx=45°，
則E（4，1），
在△ECB和△DBC中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=CD}\\{∠DCB=∠CBE}\\{BC=CB}\end{array}\right.$，
∴△ECB≌△DBC（SAS），
此時CE與拋物線的交點就是滿足條件的點P，
設(shè)直線EC的解析式為：y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{4k+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$．
則EC直線解析式為：y=-0.5x+3，
故-0.5x+3=-x²+2x+3，
解得：x₁=0（不合題意舍去），x₂=2.5，
則y=1.75，
故P₁點坐標(biāo)為：（2.5 1.75）；
當(dāng)y=0則0=-x²+2x+3，
解得：x₁=-1，x₂=3，
當(dāng)x=0，則y=3，
故A（-1 0），B（3 0），C（0 3），
y=-x²+2x+3
=-（x-1）²+4，
故D（1，4），
設(shè)直線BD解析式為y=Kx+b，代入B、D坐標(biāo)
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
因此直線BD為y=-2x+6，
只要（1）PC∥BD，則有∠PCB=∠CBD
設(shè)直線PC為y=-2x+b，代入C點坐標(biāo)：
則b=3，
直線PC解析式為y=-2x+3
聯(lián)立：-2x+3=-x²+2x+3
x²-4x=0，
解得：x₁=0（舍去），x₂=4，
代入x=4，y=-5
因此P₂（4，-5）．
綜上所述：P點坐標(biāo)為：（2.5 1.75）或（4，-5）．

點評 此題主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點以及全等三角形的判定與性質(zhì)和拋物線與一次函數(shù)的交點求法等知識，求出EC解析式是解題關(guān)鍵．