Question

11．如圖，平面直角坐標系中，直線y=$\frac{4}{3}$x+8分別交x軸，y軸于A，B兩點，點C為OB的中點，點D在第二象限，且四邊形AOCD為矩形．動點P為CD上一點，PH⊥OA，垂足為H，點Q是點B關于點A的對稱點，當BP+PH+HQ值最小時，點P的坐標為（-4，4）．

Answer 1

分析 由點Q是點B關于點A的對稱點，先求出點Q的坐標，然后連接PB，CH，可得四邊形PHCB是平行四邊形，進而可得：PB=CH，進而可將BP+PH+HQ轉(zhuǎn)化為CH+HQ+4，然后根據(jù)兩點之間線段最短可知：當點C，H，Q在同一直線上時，CH+HQ的值最小，然后求出直線CQ的關系式，進而可求出直線CQ與x軸的交點H的坐標，從而即可求出點P的坐標．

解答 解：BP+PH+HQ有最小值，
理由是：∵直線y=$\frac{4}{3}$x+8分別交x軸，y軸于A，B兩點，點C為OB的中點，
∴OB=8，OA=6，OC=4，
連接PB，CH，HQ，則四邊形PHCB是平行四邊形，如圖，

∵四邊形PHCB是平行四邊形，
∴PB=CH，
∴BP+PH+HQ=CH+HQ+4，
∵BP+PH+HQ有最小值，即CH+HQ+4有最小值，
∴只需CH+HQ最小即可，
∵兩點之間線段最短，
∴當點C，H，Q在同一直線上時，CH+HQ的值最小，
過點Q作QM⊥y軸，垂足為M，
∵點Q是點B關于點A的對稱點，
∴OA是△BQM的中位線，
∴QM=2OA=12，OM=OB=8，
∴Q（-12，-8），
設直線CQ的關系式為：y=kx+b，
將C（0，4）和Q（-12，-8）分別代入上式得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{-12k+b=-8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{k=1}\end{array}\right.$，
∴直線CQ的關系式為：y=x+4，
令y=0得：x=-4，
∴H（-4，0），
∵PH∥y軸，
∴P（-4，4），
故答案為：（-4，4）．

點評 此題是一次函數(shù)的綜合題，主要考查了：一次函數(shù)圖象上點的坐標特點，一次函數(shù)與x軸、y軸交點的求法，及利用線段公理求最值問題等，解此題的關鍵是：利用兩點之間線段最短，解決最值問題．