Question

4．如圖，在等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)D，AD=5，BD=6，CD=4，將△ABD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB與AC重合，點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)E，則∠CDE的正切值為3$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AB=AC，∠BAC=60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD=AE=5，∠DAE=∠BAC=60°，CE=BD=6，于是可判斷△ADE為等邊三角形，得到DE=AD=5；過E點(diǎn)作EH⊥CD于H，如圖，設(shè)DH=x，則CH=4-x，利用勾股定理得到5²-x²=6²-（4-x）²，解得x=$\frac{5}{8}$，再計(jì)算出EH，然后根據(jù)正切的定義求解．

解答 解：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△ABD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△ACE，
∴AD=AE=5，∠DAE=∠BAC=60°，CE=BD=6，
∴△ADE為等邊三角形，
∴DE=AD=5，
過E點(diǎn)作EH⊥CD于H，如圖，設(shè)DH=x，則CH=4-x，
在Rt△DHE中，EH²=5²-x²，
在Rt△CHE中，EH²=6²-（4-x）²，
∴5²-x²=6²-（4-x）²，解得x=$\frac{5}{8}$，
∴EH=$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{5}{8}）^{2}}$=$\frac{15\sqrt{7}}{8}$，
在Rt△EDH中，tan∠HDE=$\frac{EH}{DH}$=$\frac{\frac{15\sqrt{7}}{8}}{\frac{5}{8}}$=3$\sqrt{7}$，
即∠CDE的正切值為3$\sqrt{7}$．
故答案為：3$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)和解直角三角形．