Question

如圖，AB∥CD，∠ACB=∠BDC=Rt∠，CE⊥AB于點E，DF⊥CB于點F．
（1）求證：△ABC∽△BCD；
（2）已知tan∠ABC=2，求的值．

Answer 1

（1）證明：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD，
又∵∠ACB=∠BDC=Rt∠，
∴△ABC∽△BCD；

（2）解：∵tan∠ABC=2，
∴可設(shè)AC=2k，則BC=k．
∵∠ACB=Rt∠，
∴AB²=AC²+BC²=5k²，
∴AB=．
∵△ABC∽△BCD，
∴∠BAC=∠CBD，∠ACB=∠BDC=90°，
∴sin∠BAC=sin∠CBD，
∵CE⊥AB于點E，DF⊥CB于點F，
∴====．
分析：（1）先由平行線的性質(zhì)得出∠ABC=∠BCD，再根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證明△ABC∽△BCD；
（2）先由tan∠ABC=2，在直角△ABC中根據(jù)正切函數(shù)的定義設(shè)AC=2k，則BC=k，根據(jù)勾股定理求出AB=，再由△ABC∽△BCD，根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等得出∠BAC=∠CBD，則sin∠BAC=sin∠CBD，然后根據(jù)CE=BD及正弦函數(shù)的定義列出比例式，即可求出的值．
點評：本題考查了平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的定義，難度適中，證明出△ABC∽△BCD是解題的關(guān)鍵．