Question

【題目】如圖1，在長方形中，BC=3，動點從出發(fā)，以每秒1個單位的速度，沿射線方向移動，作關于直線的對稱，設點的運動時間為

（1）當P點在線段BC上且不與C點重合時，若直線PB’與直線CD相交于點M，且∠PAM=45°，試求：AB的長

（2）若AB=4

①如圖2，當點B’落在AC上時，顯然△PCB’是直角三角形，求此時t的值

②是否存在異于圖2的時刻，使得△PCB’是直角三角形？若存在，請直接寫出所有符合題意的t的值？若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）AB的長為3；（2）①；②t的值為或或4.

【解析】

（1）如圖所示，延長與CD交于M，連接AM，用角角邊證明，可推出AB=BC=3.

（2）①在Rt△中，找出邊長利用勾股定理建立方程求解；

②分三種情況討論：，，，分別作出相應的圖形，在中，分別找出邊長，利用勾股定理建立方程求解.

（1）如圖所示，延長與CD交于M，連接AM，

由折疊的性質(zhì)可知，，

∵，，

∴

在和中，

∴≌（AAS）

∴

又∵ABCD為矩形，∴AD=BC=3，

∴AB=3

（2）①在Rt△ABC中，

∵點P點的運動時間為t，速度為1，∴BP=t，

，，,

在Rt△中，由勾股定理有，即，解得.

②當，如下圖所示，

∵四邊形ABCD為矩形，∴AD=BC=3，CD=AB=4，

有折疊性質(zhì)有，在Rt△中，

，

∴

在Rt△中，，

，即，解得

當∠=90°時，如下圖所示，

由折疊可得，

在Rt△中，

在Rt△中，，，

，即，解得

當=90°時，如下圖所示，根據(jù)折疊易得四邊形為正方形，∴PB=AB=4

綜上，滿足題意的t的值為或或4.