Question

已知：如圖，Rt△ABC，∠ACB=90°，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作FE⊥BC（垂足為E）交AB于點(diǎn)F，且EF=AF，以點(diǎn)E為圓心，EC長(zhǎng)為半徑作⊙E交BC于點(diǎn)D
（1）求證：斜邊AB是⊙E的切線；
（2）設(shè)AB與⊙E相切的切點(diǎn)為G，AC=8，EF=5，連DA、DG，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專(zhuān)題：

分析：（1）過(guò)E作EG⊥AB于G，過(guò)F作FM⊥AC于M，推出四邊形FMCE是矩形，求出CE=FM，EF=CM，求出∠GFE=∠A，證△EGF≌△FMA，推出FM=EG=CE，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）求出FG，根據(jù)勾股定理求出半徑，再根據(jù)勾股定理求出AE即可．

解答：（1）證明：
過(guò)E作EG⊥AB于G，過(guò)F作FM⊥AC于M，
則∠EGF=∠FMA=90°，
∵∠ACB=90°，
∴FM∥BC，
∵EF∥AC，
∴四邊形FMCE是矩形，
∴CE=FM，EF=CM，
∵EF∥AC，
∴∠GFE=∠A，
在△EGF和△FMA中

∠GFE=∠A ∠EGF=∠FMA AF=FE

∴△EGF≌△FMA（AAS），
∴FM=EG，
∵FM=CE，
∴EG=CE，
∵EG⊥AB，
∴斜邊AB是⊙E的切線；

（2）解：
∵∠ACB=90°，
∴AC是⊙E的切線，
∵AB是⊙E的切線，AC=8，
∴AG=AC=8，
∵AF=EF=5，
∴FG=8-5=3，
在Rt△EGF中，由勾股定理得：EG=

55-32

=4，
即CE=4，
在Rt△ACE中，AC=8，CE=4，由勾股定理得：AE=

42+82

=4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，題目比較好，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．