Question

2．如圖1所示，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過點(diǎn)A的一條直線，且B點(diǎn)和C點(diǎn)在AE的異側(cè)，BD⊥AE于D點(diǎn)，CE⊥AE與E點(diǎn)．
（1）求證：BD=DE+CE
（2）若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置時(shí)（BD＜CE）其余條件不變，問BD 與DE，CE的關(guān)系如何？請(qǐng)予以證明．
（3）若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時(shí)（BD＞CE）其余條件不變，問BD 與DE，CE的關(guān)系如何？直接寫出結(jié)果，不需證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件易證得∠BAD=∠ACE，且根據(jù)全等三角形的判定可證明△ABD≌△CAE，根據(jù)各線段的關(guān)系即可得結(jié)論．
（2）BD=DE+CE．根據(jù)全等三角形的判定可證明△ABD≌△CAE，根據(jù)各線段的關(guān)系即可得結(jié)論．
（3）同上理，BD=DE+CE仍成立．

解答 證明：（1）∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，
∴∠ADB=∠AEC=90°．
∵∠BAC=90°，∠ADB=90°，
∵∠ABD+∠BAD=∠CAE+∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD 和△CAE中，
∠ABD=∠CAE，∠ADB=∠CEA，AB=AC
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE
∵AE=AD+DE，
∴BD=DE+CE
（2）解：BD=DE-CE
證明如下：
∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，
∴∠DAB+∠DBA=90°
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠DBA=∠CAE．
在△DBA和△EAC中，
∠D=∠E=90°，∠DBA=∠CAE，AB=AC
△DBA≌△EAC（AAS）
∴BD=AE，AD=CE
BD=AE=DE-AD=DE-CE
（3）∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，
∴∠DAB+∠DBA=90°
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠DBA=∠CAE．
在△DBA和△EAC中，
∠D=∠E=90°，∠DBA=∠CAE，AB=AC
△DBA≌△EAC（AAS）
∴BD=AE，AD=CE
又∵ED=AD+AE，
∴DE=BD+CE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，涉及到直角三角形的性質(zhì)、余角和補(bǔ)角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．