Question

如果上題把直線MN由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題：設(shè)MN是圓O的弦，過MN的中點(diǎn)A任作兩弦BC、DE，設(shè)CD、EB分別交MN于P、Q．
求證：AP=AQ．

Answer 1

證明：作OF⊥CD，OG⊥BE，連接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ．
由于，∠FDA=∠ABQ，
∴△ADF∽△ABG，
∴∠AFC=∠AGE，
∵四邊形PFOA與四邊形QGOA四點(diǎn)共圓，
∴∠AFC=∠AOP；∠AGE=∠AOQ，
∴∠AOP=∠AOQ，
∴AP=AQ．
分析：作OF⊥CD，OG⊥BE，連接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ，證明△ADF∽△ABG，所以∠AFC=∠AGE，再利用圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角，證得∠AOP=∠AOQ，進(jìn)而得到AP=AQ．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和相似三角形的性質(zhì)，以及圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)：對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角，解題的關(guān)鍵是添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形．