Question

3．如圖，在邊長(zhǎng)為54$\sqrt{3}$的正三角形ABC中，圓O₁為△ABC的內(nèi)切圓，圓O₂與圓O₁外切，且與AB、BC相切；圓O₃與圓O₂外切，且與AB、BC相切…如此繼續(xù)下去，請(qǐng)計(jì)算圓O₅的周長(zhǎng)為$\frac{2}{3}$π．（結(jié)果保留π）

Answer 1

分析 本題可將三角形ABO分解成三個(gè)三角形，再根據(jù)三個(gè)三角形的面積之和等于△ABO的面積，即可得出半徑的值，再根據(jù)題意依次列出⊙O₂，⊙O₃…的半徑大小，找出規(guī)律即可．

解答 解：如圖過(guò)點(diǎn)O₂作O₂D⊥O₁E于D，
∵△ABC是等邊三角形，O₁為△ABC的內(nèi)切圓，
∴O₁E⊥BC，∠O₁BE=∠O₁O₂D=30°，BE=$\frac{1}{2}$BC=27$\sqrt{3}$，
∴O₁E=27，
設(shè)⊙O₁，⊙O₂的半徑為R，r，
${{∴O}_{1}O}_{2}={\frac{1}{2}O}_{1}$D，
∴r=$\frac{1}{3}$R，
同理⊙O₃的半徑=$\frac{1}{3}$r=$\frac{1}{9}$R=3，
⊙O₄=$\frac{1}{3}$×3=1，⊙O₅=$\frac{1}{3}$×1=$\frac{1}{3}$，
∴⊙O₅的周長(zhǎng)=2×$\frac{1}{3}$π=$\frac{2}{3}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形的性質(zhì)，解此類(lèi)題目時(shí)要根據(jù)題意列出不等式，適當(dāng)?shù)貙?duì)圖形進(jìn)行分解，然后再解題．