Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣4與x軸交于A（4，0）、B（﹣2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），過點(diǎn)P作PD∥AC，交BC于點(diǎn)D，連接CP．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，BP2=BDBC；
（3）當(dāng)△PCD的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，得 ，

解得 ，

∴拋物線的解析式為y= ﹣x﹣4

（2）解：設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（x，0）時(shí)，有BP2=BDBC，

令x=0時(shí)，則y=﹣4，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣4）．

∵PD∥AC，

∴△BPD∽△BAC，

∴ ．

∵BC= = =2 ，

AB=6，BP=x﹣（﹣2）=x+2．

∴BD= = = ．

∵BP2=BDBC，

∴（x+2）2= ×2 ，

解得x1= ，x2=﹣2（﹣2不合題意，舍去），

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（ ，0），即當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到（ ，0）時(shí)，BP2=BDBC；

（3）解：∵△BPD∽△BAC，

∴ ，

∴ ×

S△PDC=S△PBC﹣S△PBD= ×（x+2）×4﹣

∵ ，

∴當(dāng)x=1時(shí)，S△PDC有最大值為3．

即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，△PDC的面積最大．

【解析】（1）用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，把A（4，0）、B（﹣2，0）兩點(diǎn)，代入拋物線y=ax2+bx﹣4即可；（2）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣4），由PD∥AC，得到△BPD∽△BAC，得到比例，由勾股定理得到BC= ，求出BD的值，由BP2=BDBC，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)是（ img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2018/02/24/00/3e4277fa/SYS201802240015451442469337_DA/SYS201802240015451442469337_DA.012.png" width="9" height="32" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" /> ，0），即當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到（ ，0）時(shí)，BP2=BDBC；（3）由△BPD∽△BAC，得到 ， ；S△PDC=S△PBC﹣S△PBD ，得到當(dāng)x=1時(shí)，S△PDC有最大值為3，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，△PDC的面積最大．