Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，CD與AB的延長線交于點D．
（1）若∠CAB=∠BCD，求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AB=BD，CD=6，sin∠BCD=，求CB的長．

Answer 1

（1）證明：連接OC．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°（直徑所對的圓周角是直角）；
又∵OA=OC（⊙O的半徑），
∴∠CAO=∠OCA，即∠CAB=∠OCA（等邊對等角）；
∵∠CAB=∠BCD（已知），
∴∠BCD=∠OCA，
∴∠OCA+∠OCB=∠BCD+∠OCB，即∠ACB=∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
即CD是⊙O的切線；

（2）解：∵OB=OA=OC=AB，AB=BD，
∴OD=3OC；
由（1）知，∠OCD=90°．則在Rt△OCD中，OD²=OC²+CD²，CD=6，
∴OC=
∴AB=2OC=3；
∵∠OCA+∠OCB=∠BCD+∠OCB=90°，∠CAB=∠OCA，
∴∠BCD=∠CAB，
∴sin∠BCD=sin∠CAB==，
∴CB=AB=，
即CB=．
分析：（1）連接OC．欲證CD是⊙O的切線，只需證明OC⊥CD即可；
（2）由已知條件“OB=OA=OC=AB，AB=BD”證得OD=3OC；然后根據（1）中切線的性質在直角三角形OCD中利用勾股定理求得OC的長度；最后利用等量代換、三角函數的定義知sin∠BCD=sin∠CAB==，從而求得CB的長度．
點評：本題考查了切線的判定與性質、勾股定理以及解直角三角形．證明過半徑的外端點且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是常用的方法，求圓的半徑常常用勾股定理，這些方法十分重要，要熟練掌握．