Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)為(2，4)，直線x=2與x軸相交于點(diǎn)B，連結(jié)OA，拋物線y=x²從點(diǎn)O沿OA方向平移，與直線x=2交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)M到A點(diǎn)時(shí)停止移動(dòng)。

(1)求線段OA所在直線的函數(shù)解析式；
(2)設(shè)拋物線頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，
①用m的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②當(dāng)m為何值時(shí)，線段PB最短；
(3)當(dāng)線段PB最短時(shí)，相應(yīng)的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△QMA的面積與△PMA的面積相等，若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：(1)設(shè)OA所在直線的函數(shù)解析式為y=kx， ∵A(2，4)， ∴2k=4， ∴k=2， ∴OA所在直線的函數(shù)解析式為y=2x； (2)①∵頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，且在線段OA上移動(dòng)， ∴y=2m(0≤m≤2)， ∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m，2m)， ∴拋物線函數(shù)解析式為y=(x-m)2+2m， ∴當(dāng)x=2時(shí)，(0≤m≤2)， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2，)， ②∵， 又∵0≤m≤2， ∴當(dāng)m=1時(shí)，PB最短；

(3)當(dāng)線段PB最短時(shí)，此時(shí)拋物線的解析式為， 假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)Q，使， 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，)， ①當(dāng)點(diǎn)Q落在直線OA的下方時(shí)，過P作直線PC//AO，交y軸于點(diǎn)C， ∵PB=3，AB=4， ∴AP=1， ∴OC=1， ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0，-1)， ∵點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2，3)， ∴直線PC的函數(shù)解析式為y=2x-1， ∵， ∴點(diǎn)Q落在直線y=2x-1上， ∴， 解得，即點(diǎn)(2，3)， ∴點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合， ∴此時(shí)拋物線上不存在點(diǎn)Q，使△QMA與△APM的面積相等； ②當(dāng)點(diǎn)Q落在直線OA的上方時(shí)，作點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對稱稱點(diǎn)D，過D作直線DE//AO，交y軸于點(diǎn)E， ∵AP=1， ∴EO=DA=1， ∴E、D的坐標(biāo)分別是(0，1)，(2，5)， ∴直線DE函數(shù)解析式為y=2x+1， ∵， ∴點(diǎn)Q落在直線y=2x+1上， ∴，解得：， 代入，得， ∴此時(shí)拋物線上存在點(diǎn)，使△QMA與△PMA的面積相等， 綜上所述，拋物線上存在點(diǎn)，使△QMA與△PMA的面積相等。