Question

9．如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線y=$\frac{4}{3}$x+8與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B．
（1）點(diǎn)A坐標(biāo)（-6，0），點(diǎn)B坐標(biāo)（0，8）．
（2）如圖，以線段AB為邊在第二象限內(nèi)作等腰Rt△ABC，其中∠BAC=90°，AB=AC，求直線AC的函數(shù)表達(dá)式．（請(qǐng)用2種方法解答）．

Answer 1

分析 （1）將y=0代入可求得x=-6，從而可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，將x=0代入求得y=8，從而可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）方法1：根據(jù)相互垂直的直線的特點(diǎn)可知直線AC的一次項(xiàng)系數(shù)k=-$\frac{3}{4}$，然后利用待定系數(shù)法求得AC的解析式即可；方法2：如圖所示：過點(diǎn)C作CD⊥x軸，垂足為D．先證明△CDA≌△AOB，于是可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-14，6），最后利用待定系數(shù)求得AC的解析式即可．

解答 解：（1）令y=0得：$\frac{4}{3}$x+8=0，解得：x=-6，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，0）．
將x=0代入得：y=8，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，8）．
故答案為：（-6，0）；（0，8）．
（2）方法1：
∵AC⊥AB，
∴直線AC與直線AB的一次項(xiàng)系數(shù)的乘積為-1．
∴直線AC的一次項(xiàng)系數(shù)k=-$\frac{3}{4}$．
設(shè)直線AC的解析式為y=$-\frac{3}{4}x+b$，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得：$-\frac{3}{4}×（-6）+b=0$，
解得：b=-$\frac{9}{2}$．
∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=$-\frac{3}{4}$x$-\frac{9}{2}$．
方法2：如圖所示：過點(diǎn)C作CD⊥x軸，垂足為D．

∵∠CAB=90°，
∴∠CAD+∠BAO=90°．
又∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CAD=∠AB0．
在△CDA和△AOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠AB0}\\{∠CDA=∠AOB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△CDA≌△AOB．
∴CD=OA=6，AD=OB=8．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-14，6）．
設(shè)直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入得$\left\{\begin{array}{l}{-6k+b=0}\\{-14k+b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$．
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{3}{4}x-\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、等腰直角三角形的性質(zhì)、相互垂直的兩條直線的解析式的特點(diǎn)，全等三角形的性質(zhì)可判斷，明確相互垂直的兩條直線的一次項(xiàng)系數(shù)的乘積為-1以及求得點(diǎn)C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．