Question

如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E．設(shè)CD=CB=，AD=9，AB=15．
求∠B的余弦值及AC的長(zhǎng)．

Answer 1

解：如圖，在AB上截取AF=AD，連接CF，
∵AC平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
在△ADC和△AFC中，
∵，
∴△ADC≌△AFC（SAS），
又∵AD=9，CD=CB=，
∴AF=AD=9，CF=CD=CB=，
∴△CBF是等腰三角形，
又∵CE⊥AB于E，AB=15，
∴EF=EB=BF=（AB-AF）=3，
在Rt△BEC中，cosB===，
在Rt△BEC中，CB=，BE=3，
由勾股定理得：CE==5，
在Rt△AEC中，CE=5，AE=AF+EF=9+3=12，
由勾股定理得：AC==13，
∴∠B的余弦值為，AC的長(zhǎng)為13．
分析：在AB上截取AF=AD，由AC為角平分線得到一對(duì)角相等，再由公共邊AC，利用SAS可得出三角形ADC與三角形AFC全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到CD=CF，由CD=CB，得到CF=CB，即三角形BCF為等腰三角形，再由CE垂直于BF，利用三線合一得到E為BF的中點(diǎn)，進(jìn)而由AE-AF求出EF的長(zhǎng)，即為EB的長(zhǎng)，在三角形CEB中，利用銳角三角形函數(shù)定義及BC與EB的長(zhǎng)，求出∠B的余弦值，再利用勾股定理求出CE的長(zhǎng)，在直角三角形ACE中，由AE與CE的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求出AC的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：此題屬于解直角三角形的題型，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的三線合一性質(zhì)，勾股定理，以及銳角三角函數(shù)定義，利用了轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的思想，其中作出相應(yīng)的輔助線是本題的突破點(diǎn)．